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Notations
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Cbet [J/kg/K] : chaleur massique
du béton
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r
[kg/m3] : masse
volumique
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T [K ou
°C] : température
-
t
[s] : temps
-
l
[W/m/K] : conductivité
thermique
-
j
[W/m2] : flux surfacique de
chaleur
-
K
[m²/s] : diffusivité thermique
-
Relations
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j . dS
= òdiv(j) . dV
= ò¶j /
¶x .
dV
-
K
= l/ (
r*
Cbet)
-
Loi de Fourier
(1822)
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j(x,
t) = - l* grad (T(x,
t))
-
La température
de la paroi
-
Cas 1 :
Modélisation
Dans ce cas
l’évolution de la température de surface est
paramétrée par 4 portions de droite (Fig. 1).
L’objectif étant de modéliser une évolution
proche d’une courbe de montée en température du
béton. Dans un premier temps nous avons calé cette
approche multilinéaire sur la courbe standard de montée
en température de la face exposée au feu du
DTU :
q -
qo = 345 *
Log10 (8 * t + 1) (1)
Avec : q est la
température au temps t exprimé en
minutes
qo la
température au temps initial.
N.B : La courbe
standard correspond à un chauffage au four du béton et
tient compte des coefficients d’échanges par convection
et rayonnement.
Fig. 1
Modélisation de la température de la
paroi
Dans ce cas il
« suffit » de rentrer la température
extérieure, autrement dit la température de l’air
à proximité de la paroi, qui chauffe le
béton.
L’évolution de la température de
surface est calculée en tenant compte des facteurs
d’échanges par convection et rayonnement. Pour cela on
considère un coefficient global d’échange thermique
convecto - radiatif noté HCR.
HCR = HC + HR
(2)
Etant donné que
nous n’avons pas réellement d’idée sur la
valeur du coefficient d’échange convectif HC nous le
prenons égal dans un premier temps à 7 W/m²/K. Cette
valeur est issue d’un modèle de simulation à
2 dimensions du DTU (« comportement au feu des structures
en béton »). Cependant gardons à l’esprit
que la valeur précédente provient d’essais
réalisés au four et non à la flamme, dans notre cas
ce coefficient sera donc plus petit.
Le coefficient
d’échange radiatif est lui fonction de la
température extérieure et de la température de la
paroi :
HR =
e
* f
* σo * [ Text +
Tparoi ] * [T2ext +
T2paroi ] (3)
La relation (3) représente l’approche
de STEFAN-BOLTZMANN, dans cette expression les températures
sont exprimées en °C, σo =
5.68*10-8 W.m-2.K-4
et ecorrespond à la
prise en compte du phénomène de corps gris. Ce
coefficient correctif appelé facteur d’émission est
compris entre 0 et 1. Le coefficient f représente le ratio
d’énergie réellement appliquée sur la face
exposée au feu. Dans le cas des essais de chauffe nous avons
supposé f = 0.5.
D’un point de
vue physique nous avons jugé plus cohérent de
paramétrer le facteur d’émission (fig. 2). En effet
au début du chauffage le béton absorbe une quantité
de chaleur plus importante. Cela se traduit donc par une
émissivité du flux de chaleur vers l’extérieur
moins importante. Cependant à partir d’un certain taux
de quantité de chaleur, le béton atteint un régime
permanent de rayonnement de la chaleur. Ce facteur
d’émission varie entre 0.92 et 0.97 dans le cas des
bétons.
Fig.2
Modélisation du facteur
d’émission
Ainsi, avec les
hypothèses précédentes concernant les
phénomènes de convection et de radiation, le bilan des
flux surfaciques dans la première couche de
béton est le suivant :
r* Cbet *
(∂T/∂t)(x=0) * dx = j(0, t) + HCR
* (Text – Tparoi)
(5)
Où j(0,
t) = l[T(0, t)]
* [ T(dx, t) - T(0, t) ] / dx
représente la projection selon (Ox) de la densité du flux
de chaleur d’après la loi de
FOURIER.
Au premier ordre on peut écrire :
T(0, t + dt) = T(0, t) +
(∂T/∂t)(x=0) * dt
(6)
En remplaçant
(5) dans (6) :
T(0, t +
dt) = T(0, t) + [l[T(0,
t)]* [T(dx, t) - T(0, t)] / dx + HCR *
(Text – T(0, t))] * dt /
(r* Cbet *
dx) (7)
L’expression
(7) nous permet alors de déterminer l’évolution de
la température de la paroi en fonction du temps.
L’évolution temporelle et spatiale dans
l’éprouvette de béton de la température
est ensuite déterminée à partir de
l’équation de la chaleur. Cette fois-ci la
conductivité thermique est le seul mode de propagation de la
chaleur dans l’échantillon
chauffé.
Le paragraphe
suivant à pour objectif de déterminer
l’évolution de la température au sein de
l’éprouvette de béton. Nous cherchons donc à
déterminer T(x, t) à partir de T(0,
t). Le calcul de T(x, t) est basé sur la
méthode des différences finies. Pour cela nous avons
également considéré des modèles
d’évolution des propriétés thermiques du
béton permettant à la fois de se caler par rapport aux
modèles donnés par le DTU et les Eurocodes, et de varier
entre les deux.
-
Evolutions des propriétés
thermiques
Les
propriétés thermiques nécessaires à
l’établissement de T(x, t) dans
l’éprouvette sont la conductivité thermique
(l) et la chaleur
spécifique (Cbet) ou capacité calorifique
massique du béton. L’évolution de ces deux
propriétés nous permettra également de tracer la
diffusivité thermique (K) de chaque formule de béton.
Elle représente la capacité de transport de la chaleur du
matériau en fonction de la température, en d’autres
termes nous aurons un bon indicateur du caractère plus ou
moins isolant du matériau chauffé.
l = 1.6 si T < 500
°C
Selon le
DTU ;
l =
0.9 si 500 °C < T < 1000
°C et Cbet = 920
J/kg/K "T
l = 1.6 si T >
1000°C
Béton
calcaire : l =1.6 - 0.16 * (T/120)
+ 0.008 * (T/120)²
L’ EC2
préconise ;
Béton siliceux : l =2 - 0.24 * (T/120) +
0.012 * (T/120)²
Béton calcaire
et siliceux : Cbet = 900 + 80 * (T/120) - 4 *
(T/120)²
Il faut
également savoir que des valeurs moyennes et des formules pour
les bétons légers existent aussi à l’Eurocode
2 cependant nous n’en tiendrons pas compte dans la suite.
Dans les relations ci-dessus les températures sont
exprimées en °C.
Les branches de
paraboles (cf. chapitre I) représentant les modèles EC2
des propriétés thermiques en fonction de la
température peuvent être approchées par deux
portions de droites. Nous avons donc opté pour deux
modèles bilinéaires du même type que celui de la
figure 3. Pour la chaleur spécifique le modèle reste le
même, l’allure sera globalement croissante au lieu
d’être décroissante comme l’illustre la
figure 3.
Fig.3
Modélisation des propriétés thermiques du
béton
Considérons un
champ de température T(x, y, z, t) dans un
volume Dlimité par une
surface Sd’un corps
quelconque de masse volumique r, de chaleur
massique Cv et de conductivité
thermique l. En un point M de
la surface S, considérons
un élément de surface dS et n le vecteur
unitaire de la normale M orienté vers l’extérieur.
La détermination de la température impose la
détermination du bilan énergétique du
volume D.
Le calcul de la
quantité de chaleur d²Q1 qui
pénètre dans le volume Dà travers
dS pendant l’intervalle dt est déduit par
application de la formule de FOURIER.
d²Q1
= l n
. grad T dS
dt
La quantité de
chaleur totale qui pénètre dans le volume
Dà travers la
surface Spendant dt
est alors donnée par :
Q1 =
òò(S)
l n .
grad T dS
dt
En utilisant la
formule d’ OSTROGRADSKY
òòòD
divV dv =
òò(S)
V . n dS
On obtient :
Q1 =
òò(S)
l n .
grad T dS dt = òòòD
div(l grad
T ) dv dt
Où dv
est un élément de volume pris à
l’intérieur de D.
Calculons maintenant
la quantité de chaleur Q2
créée dans le volume D. En effet, dans le cas
général d’un corps quelconque il peut y avoir
création de chaleur dans la masse. Pour
l’établissement du modèle numérique nous
supposerons que Q2 = 0. Soit p(x, y,
z, t) le flux de chaleur créé par unité de
volume. Q2 est alors donnée par la
relation :
Q2 =
òòòDp(x,
y, z, t) dv dt
Le bilan énergétique pour le
volume Dpermettra
d’écrire :
Q1 +
Q2 =
Q3
Où
Q3 représentera la quantité de
chaleur nécessaire à la variation de température du
volume D. Si
(¶T/¶t)*dt
représente la variation de température du volume
dv pendant dt, l’équation de la
calorimétrie permet
d’écrire :
d²Q3
= rCv
(¶T/¶t) dt
dv et
Q3 = òòòD rCv
(¶T/¶t) dv
dt
Soit :
òòòD
div(l grad
T ) dv dt +òòòDp(x,
y, z, t) dv dt =
òòòD rCv
(¶T/¶t) dv
dt
D’où :
div(l grad
T ) +p(x,
y, z, t) = rCv
(¶T/¶t)
En développant
il vient :
l
div( grad T )
+
grad l.
grad T +
p(x, y, z, t) =
rCv
(¶T/¶t)
Finalement on
obtient :
l
DT + grad
l.
grad T +
p(x, y, z, t) =
rCv
(¶T/¶t)
Dans le cas que nous
avons à étudier, lest fonction de la
température, il n’y a pas de création de chaleur
dans la masse et le phénomène de propagation de la
chaleur est supposé unidimensionnel. L’équation de
la chaleur « adaptée » au problème
est alors la suivante :
Au premier ordre on
a :
T(x,
t + dt) = T(x, t)
+
(∂T/∂t)(x,
t) * dt
D’après ( * )
∂T/∂t
= K * ∂²T/∂x²
+
αi / (r*
Cbet) *
(∂T/∂x)²
Donc :
(a) T(x, t +
dt) = T(x, t)
+ K[T(x,
t)]*(∂²T/∂x²)(
x, t)*dt +αi /
(r*Cbet)*(∂T/∂x
)²(x, t) *dt
Les développements limités de T(x +
dx, t) et T(x - dx, t) par rapport à x
donnent :
(b) T(x +
dx, t) = T(x, t)
+(∂T/∂x)(x,
t) * dx +½ *
(∂²T/∂x²)(x, t)
* dx² +
o(dx3)
(c) T(x
– dx, t) = T(x, t) -
(∂T/∂x)(x, t) *
dx +½ *
(∂²T/∂x²)(x, t) *
dx² +
o(dx3)
La somme et la différence des 2 expressions
précédentes donnent :
(b) +
(c) T(x + dx, t)
+
T(x – dx,
t) = 2 * T(x, t)
+
*
(∂²T/∂x²)(x, t)
* dx² +o(dx3)
(b) – (c)
T(x + dx, t)
- T(x – dx, t) = 2 *
(∂T/∂x)(x, t) *
dx +o(dx3)
D’où :
(d) (∂²T/∂x²
)(x, t) = 1/dx² * [
T(x + dx, t) +T(x
– dx, t) –2 *
T(x, t)] +o(dx)
(e) (∂T/∂x)²
(x, t) = 1/(4*dx²) * [
T(x + dx, t) - T(x – dx,
t)]² +o(dx)
En insérant (d)
et (e) dans l’équation (a) il vient
:
Les programmes en
Visual Basic sont donnés en annexe G.
Le pas de temps
dt doit être choisi judicieusement en fonction des
autres paramètres. Un pas dt grand permet
d’obtenir rapidement des résultats. Un pas dt
petit permet d’avoir une meilleure précision. Il faut
donc trouver le bon compromis entre rapidité de calcul et
précision.
La condition
ci-dessous permet d’éviter une divergence des
résultats.
dt ≤
dx² / (20 * K)
(Ex : dx
= 1 cm, r = 2300
kg/m3, Cbet ≈ 1000 J/kg/K
et l£2 W/m/K donnent :
dt ≤ 6 s)
1. La formulation d'un béton
